@cosette 感谢你详细的回答。

@cosette 谢谢你的回复。
关于第一问的答案。答案当中给出 P(B|A)=1-q=P(B) 没有给出证明，只是根据这道题给出的条件和常识得出 B 不会影响我们对 A 的假设。这一点我是同意的。至少想不出反对的理由。但是既然这条理由成立。那么为什么非要“绕道”P(B|A)=1-q=P(B) 来证明 P(A|B)=P(A)=P ? 为什么要绕道呢？上来直接说 A B 无关，所以 P(A|B)=P(A)=P 不就完了？我对这个证明方法挺困惑的。

关于第二问的答案。P(C|A)=q ,但实际上 q 是观察到一头牛的概率。想象一下一个笼子里 母牛都是黑色的，乌鸦也是黑色的。打开门以后，母牛出现的概率是 q ，乌鸦出现的概率是 1-q ，那么此时 P(A 交 C)=0 。P(C|A)=q 并不是理所当然的啊，也许 P(C|A)=0 也说不定。

@7Sasuke7L 谢谢回复。
第一个问题，我理解了。
第二个问题。我受如下思路影响，既连续变量的单点概率为 0 ，讨论连续概率都是讨论面积或长度。基于此。假设第一个选手转动得到的数字是 0.5 ，那么事件 A：第二个选手转出的数字比第一个选手小。事件 B：第二个选手转出的数字比第一个选手大。那么 P(A)=P(B)=1/2 。因为 A 的长度 0-0.5=B 的长度 0.5-1=0.5 。但是如果第一个选手转出的数字不是 0.5 ，那么 A 对应的长度和 B 对应的长度便不再相等。因此 P(A)不等于 P(B) 两者都不等于 0.5 了。
我是陷入什么误区了么？

@cosette 谢谢回复。我明白了。

Since the probability of observing a (black)crow is no affected by the truth of our hypothesis

@cosette 谢谢你再次详细的解答。此回复针对 3 楼。

所以可以记为 P(B)=(1-P(S))/2 ，其中，P(S)表示在全空间中两者 Heads 数相等的概率。--------其实 P(S)对应的就是题目答案中所说的 P(X)=P(Y)的情况。但是即便如此似乎还是无法求得 P(S)的具体数值吧？因此 P(B)还是无法根据这个公式代入 P(S)求出来吧？

@cosette 谢谢回复。
首先我发现英文答案 Let B 后面少了一些内容，补充如下：Let B "be the event that Bob tosses more heads"

其次，“If they are not tied, then their scores differ by at least 2”--------如果我没理解错，这个结论依赖于如下积分规则，“head 得 1 分，tail 得-1 分”。如果是 head 得 1 分，tail 得 0 分，则这个结论就不成立了。对吧。而且 P(B | X) = 1 也依赖于此，既前 n 次如果 Bob 得分领先，那么 Bob 即便第 n+1 次投出 tail ，最终 Bob 还是赢过 Alice ，所以概率是 1 。对吧？

再次，如果这个问题稍稍改动，两人各投 n 次，Bob 正面赢过 Alice 的概率是多少？这怎么计算？是要先分类后计算概率？
例如：计算 n-1 次两人得分一致，只有一次 Bob 是头，Alice 是尾。
再计算 n-2 次两人得分一致，有两次 Bob 是头，Alice 是尾。
穷举计算？

@necomancer 谢谢指教：
以下针对一楼的回复
1 、“3 ，向量长度和弧长是两码事，不信你自己…………”
这段没看懂，向量怎么还有弧长的问题。

2 、“存在，就这么定义的”
你这个答案是针对，我帖子中“2 、向量内积有 a.b=|a||b|cosθ” 这部分的回复么？

3 、“本身就是一个抽象的玩意儿，而且具备很多直观图像没有的东西。”
--------如果不说图像。但是应该有一些其他的意义吧，比如连续函数 f ，||f||即便没法像向量的模长那样代表函数曲线的长度。那么他是否有其他的现实意义呢。比如，经济意义，概率统计方面的意义？


4 、“要是为了搞 gay 器学习啥的简单用用，就赶紧的学点线代概率啥的有个基本基础开工了~”
-----------越学数学越不敢用数学。如果简单看看傅里叶级数，你觉得给个周期函数 f(x)就可以用傅里叶级数“拟合”出来。但是学了狄雷克雷定理。你就知道有限间断点的周期函数，傅里叶级数是无法拟合出来的。在间断点处拟合出的是 f(x) 左极限和右极限的算术平均值。 我之所以试图寻找一些数学概念的几何意义，一方面加深理解便于记忆。另外一方面担心对抽象的概念留于字面意思的理解容易对概念产生误解。
所以对于工科生学数学用数学，你有什么建议么？
请教一下，你是学什么专业的？

@jifengg 谢谢答复。
因为你抽出来之后，不会再把球放回去了。所以第一个不是的话，第二个抽中这个重球的概率就是 4 选 1 ，也就变成 1/4 ，而不是 1/5 了。
-----------在 6 楼的回复中，我跟你持同样观点。

@jifengg 谢谢你的详细解答。你的解题过程我看懂了。但是有一个困惑我还是无法消除。

“概率是：0.2+0.2+0.2+0.2+0.2
期望是：1*0.2+2*0.2+3*0.2+4*0.2+4*0.2 = 2.8 次” 你这一步实际上给出了方案甲的分布列。我的困惑在这里。这个分布列如果仅仅拿出前四项讨论。可以看作一个人在一个五面体骰子上下注赌博(比如赌是三点，具体是几点不重要。)。每次一元。那么到了第四次他支付的赌注是 4 元，理论上的回报是 1*0.2+2*0.2+3*0.2+4*0.2=2 元。

这里面有个问题。骰子下一次开几点和前一次开几点是完全无关的！！！对吧。但是甲方案当你检测第一只不是病体，剩下三只每一只是病体的概率就不再是 0.2 了？这一点开起来和 5 面体骰子赌博似乎有不太一样。
但是沿着你的思路去看这个问题。检测开始前。每只个体是病体的概率确实是 0.2 。 我觉得也有道理。所以脑子有点乱了：）））） 还请你指教。

另外，如果甲方案的分布列起个名字。那么他是什么分布？肯定不是二项分布。

@wxf666 对。就是不明白这一点。

@wxf666 我现在看到递归的例子都是“重复”做某件事情。但是递归代码必然会引起内存入栈。难道利用循环“重复”做某件事情也会有内存进栈？

@yuelang85 谢谢回复。我可能没太看懂你的意思。def selfintro(self):
print(f'大家好，我叫{self.name}，今年{self.age}岁。') 这段代码不就在类的内部。self 不就作为 selfintro 的输入参数么？为什么说类“类内部的函数之间可以通过 “非传参” 以及 “非全局变量” 的形式共享资源。”呢？

@necomancer 谢谢回复。你的回复中有好几个字被屏蔽，变成***了。还有 sqwave int_w f_w exp f_w exp(iwt) 是什么意思？海螺图的纵轴是什么含义？平面上的两个轴又是什么含义呢？

@necomancer 谢谢回复。
如果我把任意非零的列向量，看成一个秩一的矩阵。并套用上方秩一矩阵 A^+ 的表达式，得到的结果与 x^+结果能达成统一么？

@necomancer 谢谢回复《线性代数应该这样学》，感觉超纲了。我还是回去学导论。

@necomancer 谢谢回复。参考了其他书籍。已经学会了。

@necomancer 不是很确定。
不过我首次看到这个概念的文章中，结合 lead-lag regression 出现的段落上下文推测，这个回归似乎是时间序列分析中判定领先滞后指标的回归方法。

如使用奇异值分解，会得到特征向量和特征值----------协方差矩阵是实对称矩阵。而且是个方阵。所以没必要用奇异值分解，直接正交对角化就可以得到特征值特征向量（特征值分解可以看成奇异值分解的特殊形式，既被分解的是一个方阵。而奇异值分解可以看成特征值分解的普遍形式，方阵非方阵都适用）

某个方向上的协方差越大，其特征值就越大，---------你是不是想说方差越大就……。在某个方向上只有方差，只有不同方向间才有协方差，且 pca 后协方差=0

对应“方差越大的主成分给的权重就越大”，---------书中批判的就是这种方法或者说是理念。认为这样做没有理论依据!