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huzhikuizainali
V2EX  ›  数学

已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,是逐只筛查好?还是分组筛查好?

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  •   huzhikuizainali · 2022-08-10 16:42:18 +08:00 · 1175 次点击
    这是一个创建于 596 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

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    wu67
        1
    wu67  
       2022-08-10 18:08:12 +08:00
    看成本如何算.
    如果只有材料算成本, 那么:
    1. 随便抽 3 个出来, 取样混检
    2. 根据 1 的结果, 如果 3 个里面有目标, 则在 3 个里面随便抽两个混检. 如果 3 个里面没目标, 在剩余的两个里面取一个捡.
    3. 跟据 2 的结果, “2 取 1”问题.
    只需要 3 步, 即 3 次检查、3 个成本花费.

    如果人力取样也算成本, 例如要花多少时间才能取血...对不起我不会.
    jifengg
        2
    jifengg  
       2022-08-11 09:10:46 +08:00
    概率学还给老师了,回答一个关于概率不等于 1 的问题,如果说错了欢迎指出。

    假设 5 只里面有且只有一只患病,每只患病、不患病的概率分别为 0.2 、0.8 ,逐个化验:
    第 1 只就检查出的概率是 0.2
    第 2 只就检查出的概率是 0.8*0.2 (不是 2/5 ,简单理解就是 第 1 只不是才化验第 2 只,所以是 0.8*0.2 )
    3 ---> 0.8*0.8*0.2
    4 ---> 0.8*0.8*0.8*0.2
    5 ---> 0.8*0.8*0.8*0.8 (因为已经确认有一只,所以只要前 4 只都不是,就肯定是第 5 只,所以这里只需要化验 4 次)

    以上概率加起来就是 1
    概率和化验次数相乘后相加,就是整个的期望化验次数:
    1*0.2+2*0.8*0.2+3*0.8*0.8*0.2+4*0.8^3*0.2+4*0.8^4=2.952
    jifengg
        3
    jifengg  
       2022-08-11 09:39:04 +08:00
    同理,分成 3-2 两组的话,概率是:
    0.6 * ( 0.2 + 0.8*0.2 + 0.8*0.8 ) + 0.4 * ( 0.2 + 0.8 )=1

    期望次数就得注意一下,一开始化验小组的次数也要加上,就是:

    0.6 * ( ①+ 1*0.2 + 2*0.8*0.2 + 2*0.8*0.8 ) + 0.4 * ( ①+ 1*0.2 +1* 0.8 )=2.48

    以上两个 ① 就是化验小组的次数

    为什么后面那个小组也是①,因为就两组,不在前面那组就在后面那组,所以都只要①次就能确定病患在哪组。

    可能有人想算算分成 2-2-1 三组的话,概率和期望怎么算,我算了一个期望,是 2.6 次。你也可以试试。
    jifengg
        4
    jifengg  
       2022-08-11 11:45:22 +08:00 via Android
    不好意思,上面的计算有点问题,等我整理一下重新回复
    jifengg
        5
    jifengg  
       2022-08-11 14:18:17 +08:00
    我上面解答出错的地方:这个题,“有且只有一个患病”是一个前提,那它就不能等同于“每只患病、不患病的概率分别为 0.2 、0.8”,而应该等同于“患病的这一只在第 1 到第 5 个位置的概率均为 0.2”。

    这就简单了,患病的在第 1 个位置,那就只做 1 次化验,在第 n 个位置,就需要做 n 次。
    概率是:0.2+0.2+0.2+0.2+0.2
    期望是:1*0.2+2*0.2+3*0.2+4*0.2+4*0.2 = 2.8 次

    上面我基于“每只患病概率是 0.2”推算的错误的“做 2 次化验找到患病”的概率是 0.8 * 0.2 = 0.16 。
    因为这题“有且只有一个患病”,所以一旦确定了第 1 个不患病,就剩 4 个,那第 2 个是患病的概率,就是 1/4 ,而不是 1/5 ,所以应该是 4/5 * 1/4 = 1/5 = 0.2 。

    同理“做 3 次化验找到患病”的概率是 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5
    huzhikuizainali
        6
    huzhikuizainali  
    OP
       2022-08-11 20:41:34 +08:00
    @jifengg 谢谢你的详细解答。你的解题过程我看懂了。但是有一个困惑我还是无法消除。

    “概率是:0.2+0.2+0.2+0.2+0.2
    期望是:1*0.2+2*0.2+3*0.2+4*0.2+4*0.2 = 2.8 次” 你这一步实际上给出了方案甲的分布列。我的困惑在这里。这个分布列如果仅仅拿出前四项讨论。可以看作一个人在一个五面体骰子上下注赌博(比如赌是三点,具体是几点不重要。)。每次一元。那么到了第四次他支付的赌注是 4 元,理论上的回报是 1*0.2+2*0.2+3*0.2+4*0.2=2 元。

    这里面有个问题。骰子下一次开几点和前一次开几点是完全无关的!!!对吧。但是甲方案当你检测第一只不是病体,剩下三只每一只是病体的概率就不再是 0.2 了?这一点开起来和 5 面体骰子赌博似乎有不太一样。
    但是沿着你的思路去看这个问题。检测开始前。每只个体是病体的概率确实是 0.2 。 我觉得也有道理。所以脑子有点乱了:)))) 还请你指教。

    另外,如果甲方案的分布列起个名字。那么他是什么分布?肯定不是二项分布。
    jifengg
        7
    jifengg  
       2022-08-12 09:27:41 +08:00   ❤️ 1
    @huzhikuizainali
    注意你的题干第一句是“已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病”,你的要求是找到它,所以概率不是”抽中的动物会不会患病“,而是”会不会抽中患病的动物“,换个题干也许你会更清晰:

    有 5 个外表一模一样的小球,其中一个比其他的重,问怎么筛选能更快的找到这个重球。

    因为你抽出来之后,不会再把球放回去了。所以第一个不是的话,第二个抽中这个重球的概率就是 4 选 1 ,也就变成 1/4 ,而不是 1/5 了。

    你用骰子来比喻不对,原因就是骰子不能投一次就去掉一面。

    总之,你明确知道了有一个重球,那么每次你能不能抽中它,这个概率就不是固定的,会随着你剩余的球越少,概率越高。

    至于叫什么名字,抱歉真不知道了。其他方案在计算的时候也是和甲方案一样的。
    huzhikuizainali
        8
    huzhikuizainali  
    OP
       2022-08-12 09:48:25 +08:00
    @jifengg 谢谢答复。
    因为你抽出来之后,不会再把球放回去了。所以第一个不是的话,第二个抽中这个重球的概率就是 4 选 1 ,也就变成 1/4 ,而不是 1/5 了。
    -----------在 6 楼的回复中,我跟你持同样观点。
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