Double Integral

Definition / 定义

双重积分：在二维区域上对函数进行积分的运算，常用于计算面积、体积、质量、平均值等。通常写作 (\iint_R f(x,y),dA)。也常可通过“先对一个变量积分、再对另一个变量积分”的迭代积分来计算（在适用条件下）。

Pronunciation / 发音

/ˌdʌbəl ˈɪntɪɡrəl/

Examples / 例句

The double integral gives the area under the surface over the region.
双重积分给出了该区域上曲面下方的“面积”（更准确说是体积意义上的累计量）。

To find the mass of a lamina with variable density, compute the double integral of the density function over the plate’s region.
要计算密度变化的薄片质量，需要在薄片所在区域上对密度函数做双重积分。

Etymology / 词源

double 源自拉丁语 duplus（“两倍的”），表示“两个层次/两次”的含义；integral 源自拉丁语 integralis（“整体的、完整的”），与“把许多微小部分累加成整体”的积分思想相呼应。合起来 double integral 指“对二维量进行整体累加”的积分概念。

Related Words / 相关词

• Integral
• Definite Integral
• Multiple Integral
• Iterated Integral
• Partial Derivative
• Jacobian
• Gradient
• Surface
• Area
• Volume

Literary Works / 文学作品

• Calculus（James Stewart）——在多元微积分章节系统介绍双重积分及其几何/物理应用。
• Calculus and Analytic Geometry（Thomas & Finney）——以大量例题讲解双重积分、变量替换与雅可比行列式。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在更严格的分析框架下涉及多重积分与相关理论表述。
• Div, Grad, Curl, and All That（H. M. Schey）——在向量分析与物理直觉中多次使用双重积分表达通量、面积分等概念。