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linsen80586
V2EX  ›  程序员

动画图解:九大经典排序算法

  linsen80586 · 2023-05-07 22:43:43 +08:00 · 10647 次点击
这是一个创建于 444 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

重新整理了一遍排序算法,结合自己开发的算法宝 App的录屏,转成 webp 动画一起分享给大家,适合新手入门。

概述

排序的复杂度一览

算法 时间复杂度:最好 时间复杂度:平均 时间复杂度:最坏 空间复杂度:最坏 稳定性
冒泡排序 O(n) O(n^2) O(n^2) O(1) 稳定
选择排序 O(n^2) O(n^2) O(n^2) O(1) 不稳定
插入排序 O(n) O(n^2) O(n^2) O(1) 稳定
希尔排序 O(n) O(n^3/2) O(n^2) O(1) 不稳定
快速排序 O(nlogn) O(nlogn) O(n^2) O(logn) 不稳定
归并排序 O(nlogn) O(nlogn) O(nlogn) O(n) 稳定
计数排序 O(n+k) O(n+k) O(n+k) O(k) 稳定
基数排序 O(nk) O(nk) O(nk) O(n+k) 稳定
堆排序 O(nlogn) O(nlogn) O(nlogn) O(1) 不稳定

时间复杂度(time complexity)

用来描述算法的运行时间。常用大 O 符号表述。比如:O(n),O(1),O(logn),O(n^2)等。举例: O(n)表示线性级复杂度,表示时间复杂度和元素 element 数量 n 成正比。比如数组的线性查找的复杂度随着元素数量增加而增加。 O(1)表示常数级复杂度,表示时间复杂度不随元素 element 数量变化而变化。比如链表的插入的复杂度不随链表节点数量变化而变化。 其他常见的复杂度如下图所示:

空间复杂度(Space Complexity)

对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。也可用大 O 符号表述。举例: O(n)表示线性级复杂度,表示算法所需空间大小和元素数量成正比,比如归并排序,需要额外的临时空间来保存两个数组的合并结果,元素越多所需空间越大。 O(n)表示常数级复杂度,表示算法所需空间大小和元素数量无关。

排序的稳定性

  • 稳定:相等的两个数,排序前后两数的顺序保持不变。
  • 不稳定:相等的两个数,排序前后两数的顺序发生变化。

冒泡排序(Bubble Sort)

动图

核心思路

将数组分为左右两部分,左为无序部分,右为有序部分。无序部分中的最大数在每次遍历结束后被交换到无序部分的最右侧,继而成为有序部分的最左侧元素,就像冒泡一样。

代码

func sort(_ a:inout Array<Int>){
    let n = a.count
    for i in 0..<n-1 {
        var isSorted = true
        for j in 0..<n-1-i {
            if a[j] > a[j+1] {
                a.swapAt(j, j+1)
                isSorted = false
            }
        }
        if isSorted {
            break
        }
    }
}

代码讲解

使用双重循来遍历,把双重循环分为内循环和外循环。

  • 内循环: 从左往右处理无序部分,使用下标 j 遍历,比较相邻元素大小,交换位置成为左小右大,一次遍历后,无序部分中最大数被交换到无序部分的最右处,继而加入有序部分的最左侧。
  • 外循环: i 可理解为有序部分的数量,每次内循环结束,有序部分数量增加一个,无序部分数量减少一个。

特点

两两比较,不存在跳跃,所以稳定。 每次遍历都能检查数组是否有序,可提前退出排序,但是冒泡的交换在内循环,交换次数多。实际效率比选择排序低。

复杂度分析

最好的情况可以达到 O(n),最坏的情况是 O(n^2),平均 O(n^2)。

选择排序(Selection Sort)

动图

核心思路

将数组分为左右两部分,左为有序部分,右为无序部分。无序部分每次遍历选择出一个最小的元素,交换到无序部分的最左侧,继而成为有序部分的最右侧元素。

代码

func sort(_ a:inout Array<Int>){
    let n = a.count
    for i in 0..<n-1 {
        var iMin = i
        for j in i+1..<n {
            if a[iMin] > a[j] {
                iMin = j
            }
        }
        a.swapAt(i, iMin)
    }
}

代码讲解

使用双重循来遍历,把双重循环分为内循环和外循环。

  • 内循环: 从左往右处理无序部分,使用下标 j 遍历,每次遍历后保存下无序部分中最小数的位置 iMin 。
  • 外循环: i 为无序部分的首元素位置,其左侧为有序部分,将有序部分排除在内循环外。每次内循环结束,将内循环保存的 iMin 和 i 位置的连个元素交换,使有序部分数量增加一个,无序部分数量减少一个。

特点

由于交换动作放在外循环,交换次数少于冒泡,实际效率优于冒泡。除非本来就是有序的数组的最好情况,选择排序还是要进行比较和交换,而冒泡排序一次 n 的遍历就能提前退出。 不稳定,举个例子,序列 5 8 5 2 9 , 我们知道第一遍选择第 1 个元素 5 会和 2 交换,那么原序列中 2 个 5 的相对前后顺序就被破坏了)

复杂度分析

最好情况 O(n^2),最坏情况 O(n^2),平均 O(n^2)。

插入排序(Insertion Sort)

动图

核心思路

将数组分为左右两部分,左为有序部分,右为无序部分。遍历有序部分,将无序部分首元素,根据其大小在有序部分寻找合适的位置并插入。

代码

func sort(_ a:inout Array<Int>){
    let n = a.count
    for i in 1..<n {
        print(" i=\(i)")
        let value = a[i]
        var hole = i
        while hole > 0 && a[hole-1] > value {
            a[hole] = a[hole-1]
            hole -= 1
        }
        a[hole] = value
    }
}

代码讲解

使用双重循来遍历,把双重循环分为内循环和外循环。

  • 内循环: 每次从无序部分的首元素 value 的位置开始,从右向左,在有序部分中遍历,比较每一个元素,凡是比 value 大的元素,都向右移动一位,遍历结束后空出来的位置 hole 就是 value 的插入位置。
  • 外循环: i 可理解为有序部分的数量,同时也是无序部分的首元素的位置。每次外循环 value 都作为无序部分首元素,需通过内循环在有序部分寻找一个合适的位置 hole 并将其插入。

特点

选择排序的比较开销是固定的 n(n-1)/2,而插入排序平均下来是 n(n-1)/4 。 选择排序最多只需要执行 2(n-1)次交换,而插入排序平均的交换开销也是 n(n-1)/4 。这就取决于单次比较和交换的开销之比。如果是一个量级的,则插入排序优于选择排序,如果交换开销远大于插入开销,则插入排序可能比选择排序慢。 两两比较,不存在跳跃,所以稳定

复杂度分析

最好情况 O(n),最坏情况 O(n^2),平均 O(n^2)。

希尔排序(Shell Sort)

动图

核心思路

在插入排序基础上引入增量 gap 概念,是插入排序的改进。

代码

func sort(_ a:inout Array<Int>){
    let n = a.count
    var gap = n / 2
    while gap > 0 {
        for i in gap..<n {
            let value = a[i]
            var hole = i
            while hole > 0 && a[hole-1] > value {
                a[hole] = a[hole-1]
                hole -= 1
            }
            a[hole] = value
        }
        gap /= 2
    }
}

代码讲解

当增量 gap 为半数时,在整个数组中选取右边 1/2 部分进行插入排序,在此结果上在整个数组中选取右边 3/4 部分进行插入排序,反复这个过程,直到最后一次对整个数组做插入排序,最终成为有序数组。 每次做插入排序的部分从 gap 开始,每次扩大做插入排序的范围。

特点

希尔排序算法 1959 年提出,是直接插入排序算法的一种改进,减少了移动次数,平均时间复杂度比插入快。是第一批时间复杂度低于 O(n^2)的排序算法。 插入排序是稳定的,而 shell 排序会分组,相同的数分在不同的组内各自进行移动打破稳定性。所以不稳定

复杂度分析

gap /= 2 表示折半的方式选取增量。究竟应该选取什么样的增量才是最好,目前还有数学上的定论。最坏的情况是 O(n^2),在使用了增量后,平均时间复杂度 O(n^(3/2))。

快速排序(Quick Sort)

动图

核心思路

将数组最右侧的元素作为一个参照值 pivot,以参照值为标准,将数组拆分 patition 为 3 个部分:比参照值小的部分,参照值,比参照值大的部分。 将这个过程再分别应用到较小部分和较大部分中继续拆分,直到所有部分被拆分成 1 个元素无法再拆分,就完成了排序。 这是一个分而治之的方法,也是一个递归的过程。

代码

func sort(_ a:inout Array<Int>, start: Int, end: Int){
    if start < end {
        let partitionIndex = partition(&a, start: start, end: end)
        sort(&a, start: start, end: partitionIndex-1 )
        sort(&a, start: partitionIndex+1, end: end )
    }
}
    
func partition(_ a:inout Array<Int>, start: Int, end: Int) -> Int {
    let pivot = a[end]
    var partitionIndex = start
    for i in start..<end {
        if a[i] <= pivot {
            a.swapAt(i, partitionIndex)
            partitionIndex += 1
        }
    }
    a.swapAt(partitionIndex, end)
    return partitionIndex
}

代码讲解

每次递归将数组拆分成前部,基准值,后部 3 部分,前部比后部小。按此方法再递归调用前,后部分,最终达到从小到大的排序。

  • partition()拆分 将数组 a 的 start 到 end 区间拆分为三部分。区间内选择一个参照值,通常可选 start 或者 end 的值为参照。因为区间拆分前无序,任何一个值都可作为参照,这里我们选择 end 的值作为参照值 pivot 。 因为 pivot 作为 end ,所以区间遍历使用 i 从 start 到 end-1 ,并假设参照值位置为 pt 初始为 start 。将比参照值小的元素交换到 pt ,pt 的右侧位置就是参照值的位置,所以 pt+=1 ,遍历结束,将参照值交换到 pt ,并返回参照值的位置。
  • sort()递归分治 调用 partition()拆分数组,返回拆分后参照值位置 pt ,那么数组前部分的区间是 start 到 pt-1 ,后部分的区间为 pt+1 到 end 。对着两部分继续递归调用 sort()。当数组被拆分为 1 个元素,即 start 等于 end 的时候,则停止分治,退出递归。

特点

快速排序是一种交换类的排序,它同样是分治法的经典体现。 如果 pivot 的值有重复,pivot 作为参照放在前后两部中间有可能打破稳定性,所以不稳定

复杂度分析

待排序数组最终被拆分成深度为 logn+1 的二叉树。拆分次数为 logn 。第一次拆分时,总共的执行时间是 Cn(C 为固定的单位时间常数);第二次拆分时,每个子序列的执行时间为 Cn/2 ,总的执行时间是 Cn/2+Cn/2=Cn ;第三次拆分时,总时间时 Cn/4+Cn/4+Cn/4+Cn/4+=Cn ,所以每次执行复杂度都是 Cn 。 每次执行复杂度 Cn * 拆分次数 log(n) = 快排复杂度 O(nlogn)。最坏情况 O(n^2)。

归并排序(Merge Sort)

动图

核心思路

将两个有序数组,合并为一个新的有序数组就是做归并。 归并排序中,将数组从中间分解为左右两部分,将这个过程再应用到左右部分中继续分解。最后把 n 个元素的数组分解为只有 1 个元素的 n 个数组。这种情况下,满足两个有序数组进行的归并条件,开始再两两归并,直到合并出一个新的有序数组就完成了排序。 这是一个分而治之的方法,同时也是一个递归的过程。

代码

func sort(a: [Int]) -> [Int] {
    let n = a.count
    if n == 1 {
        return a
    }
    var left = Array(a[0..<n/2])
    var right = Array(a[n/2..<n])
    left = sort(a: left)
    right = sort(a: right)
    let m = merge(left: left, right: right)
    return m
}

func merge(left: [Int], right: [Int]) -> [Int] {
    var mergedList = [Int]()
    while left.count > 0 && right.count > 0 {
        if left.first! < right.first! {
            mergedList.append(left.first!)
            left.removeFirst()
        } else {
            mergedList.append(right.first!)
            r.removeFirst()
        }
    }
    return mergedList + left + right
}

代码讲解

  • sort()将数组 a 从中间分为 left 和 right 两部分。再将 left 和 right 再递归调用 sort 继续分解。将分解的结果传入 merge()进行归并。
  • merge()合并 left 和 right 两个有序数组,返回合并后的有序数组。将 left 和 right 两个数组同时开始遍历,对比两个数组的首元素,将较小的元素填入 mergedList ,并在原数组中删除。当遍历结束后,left 或 right 还不为空,说明该数组元素都大于 mergedList ,加入在 mergedList 尾部即可。

特点

该算法采用经典的分治( divide-and-conquer )策略。分治法将问题分(divide)成一些小的问题然后递归求解。两两比较,不存在跳跃,所以稳定

复杂度分析

归并排序的效率是比较高的,设数列长为 n ,将数列分开成小数列一共要 logn 步,每步都是一个合并有序数列的过程,时间复杂度可以记为 O(n),故一共为 O(nlogn)。对空间有要求,空间复杂度 O(n)。所以,归并排序是一种比较占用内存,但却效率高且稳定的算法。

计数排序(Counting Sort)

动图

核心思路

通过前面元素出现的累计次数确定当前元素的位置,比如第一个元素 1 出现 3 次,那么元素 2 的位置从第 4 个开始,元素 2 出现 4 次,那么元素 3 的位置从第 8 个开始。

代码

func sort(_ a:inout Array<Int>) {
    let max = a.max() ?? 0
    let min = a.min() ?? 0
    let k = max - min + 1
    var counts = [Int](repeating: 0, count: k)
    for item in a {
        let i =  item - min
        counts[i] += 1
    }
    var prefixSums: [Int] = counts
    for i in 1..<counts.count {
        prefixSums[i] = prefixSums[i - 1] + counts[i]
    }
    var sorted = [Int](repeating: 0, count: a.count)
    for i in 0..<a.count {
        let key = a[i]
        let index = key - min
        let prefixSum = prefixSums[index]
        sorted[prefixSum - 1] = key
        prefixSums[index] -= 1
    }
    a = sorted
}

代码讲解

在无序数组中,先找出最大值 max 和最小值 min ,从而确定需要开辟 max-min+1 大小空间的计数数组和累计数组。

  • 计数数组: 保存每个元素出现的次数。比如 1 出现 2 次,2 出现 3 次。
  • 累计数组: 保存前面元素累计出现的次数。比如,1 出现 3 次,累计 3 次; 2 出现 4 次,累计 3+4=7 次; 3 出现 1 次,累计 7+1=8 次。累计次数-1 就是元素有序的位置。

特点

计数排序是一个稳定的非比较排序算法。它的优势在于在对一定范围内的整数排序,比如对 1 万名学生的考试分数做排序。计数排序是一种以空间换时间的排序算法,整数大小差异越大,所需要的空间越大。

复杂度分析

计数数组的大小为 k ,无序数组大小为 n ,复杂度为Ο(n+k),所以时间复杂度是 O(n);由于申请了大小为 k 的桶来放计数,所以空间复杂度是 O(k)。

基数排序(Radix Sort)

动图

核心思路

是一种非比较的整数排序算法。其原理是将整数按位数切割成不同的数字,然后对每个位数上的数字进行分别比较。第一轮先按个位数大小排序,第二轮按十位数大小排序,一直进行到最高位。实际上是也一种桶排序,从 0 到 9 一共分 10 个桶。

代码

func sort(_ a:inout Array<Int>){
    let maxValue = a.max() ?? 0
    var buckets = [[Int]](repeating: [], count: 10)
    var powerOfTen = 1
    while maxValue / powerOfTen > 0 {
        a = a.compactMap { value in
            buckets[value / powerOfTen % 10].append(value)
            return nil
        }
        buckets = buckets.map { bucket in
            bucket.forEach { value in
                a.append(value)
            }
            return []
        }
        powerOfTen *= 10
    }
}

代码讲解

先找到最大数,算出最大数有几位,则进行几次桶排序。 powerOfTen 初始为 1 ,每次 while 循环则乘以 10 倍,这样 while 循环的次数就是最大数的位数。 10 个桶,当进行个位数比较的时候,桶 n 保存个位为 n 的元素,当进行十位数比较的时候,桶 n 保存十位为 n 的元素。

特点

是一种非比较的稳定的整数排序算法。 不适用于数字的位数 k 多,但是排序的数少的情况; 适用于数字小但是排序的数字多的情况。

复杂度分析

复杂度是 O(n*k)。其中 n 是排序元素个数,每轮处理的操作数目; k 是数字位数,决定了进行多少轮处理。 并不一定优于 O(n·logn),当 k>logn ,就没有归并、堆排序快。

堆排序(Heap Sort)

相关概念:

  • 完全二叉树:其每个结点的编号跟满二叉树都能一一对应。
  • 堆:是一个完全二叉树,其每个结点的值都大于等于其子结点的值称为大顶堆。
  • 满二叉树:所有分支结点都有左右子结点,所有子结点都在同一层上。

动图

核心思路

大顶堆的顶是最大的,所以堆排序的过程就是反复的构造堆。 第一次构建的堆顶最大,和堆尾交换放在数组最后一位,第二次构建的堆的堆顶第二大,放在倒数第二位,以此类推进行排序。

代码

func sort(_ a:inout Array<Int>){
	// 构建初始堆
    createHeap(a: &a)
    // 重建堆。逆序遍历反复构建大顶堆,遍历一次,顶被摘掉放入结果数组 a 尾部,直到最后无法构建堆,结果就是有序数组 a
    for index in a.indices.reversed() {
        siftDown(from: 0, upTo: index, a: &a)
    }
}

func createHeap(a:inout Array<Int>) {
    if !a.isEmpty {
        //从 a.count/2 - 1 开始到 0 结束,逆序遍历。a.count/2 - 1 是第一个非叶子节点,向根部遍历
        for i in stride(from: a.count/2 - 1, through: 0, by: -1) {
            siftDown(from: i, upTo: a.count, a: &a)
        }
    }
}

func siftDown(from index: Int, upTo size: Int, a:inout Array<Int>) {
    var parent = index
    while true {
        let left = a[leftChildIndex(ofParentAt: parent)]
        let right = a[rightChildIndex(ofParentAt: parent)]
        var candidate = parent
        if left < size && a[left] > a[candidate] {
            candidate = left
        }
        if right < size && a[right] > a[candidate] {
            candidate = right
        }
        if candidate == parent {
            return
        }
        a.swapAt(parent, candidate)
        parent = candidate
    }
}
// 在树的顺序存储中,返回 i 的左子节点的下标
func leftChildIndex(ofParentAt i: Int) -> Int {
    return (2 * i) + 1
}
// 在树的顺序存储中,返回 i 的右子节点的下标
func rightChildIndex(ofParentAt i: Int) -> Int {
    return (2 * i) + 2
}

代码讲解

先构建堆,可以是大顶堆(也可以是小顶堆)。交换堆顶[0]元素(堆中最大)与末尾[index]元素,再将[0 ,--index]的堆调整为大顶堆。重复到 index 为 0 。

特点

堆尾如果有重复,被交换到数组首再构建堆,会打破稳定性,所以不稳定(记录的比较和交换是跳跃式进行的)。

复杂度分析

整体主要由构建初始堆重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为 O(n),在交换并重建堆的过程中,需交换 n-1 次;而重建堆的过程中,根据完全二叉树的性质,[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步递减,近似为 nlogn 。所以堆排序时间复杂度一般认为就是 O(nlogn)级。,空间复杂度是 O(1)。

32 条回复    2023-09-26 10:27:31 +08:00
mamumu
    1
mamumu  
   2023-05-08 08:43:19 +08:00
收藏了
bitkuang8
    3
bitkuang8  
   2023-05-08 18:04:03 +08:00
好东东,赞
superhxl
    4
superhxl  
   2023-05-11 03:54:16 +08:00 via Android
不错,感谢!
WinstonV2
    5
WinstonV2  
   2023-05-11 09:14:11 +08:00
可以,谢谢,时常温习一下
peasant
    6
peasant  
   2023-05-11 10:08:40 +08:00
@lyl2016 https://www.webhek.com/post/comparison-sort/ 我也收藏了一个,大概 10 年前收藏的
elechi
    7
elechi  
   2023-05-11 11:08:44 +08:00
linsen80586
    8
linsen80586  
OP
   2023-05-11 19:09:52 +08:00
这些排序只是算法宝 App 所有算法中的一小部分哦。其他还有 70 道热门力扣题。
NASK
    9
NASK  
   2023-05-14 21:16:54 +08:00 via Android
收藏了
TFTree
    10
TFTree  
   2023-05-14 22:22:12 +08:00 via Android
收藏了,很棒
zcfnc
    11
zcfnc  
   2023-05-15 08:34:39 +08:00
软件很早就下载了,好可惜两次免费没看到帖子都错过了🤣
dogfight
    12
dogfight  
   2023-05-16 01:31:57 +08:00
看不懂是不是不够聪明
linsen80586
    13
linsen80586  
OP
   2023-05-19 20:33:18 +08:00
@dogfight 不,那肯定是动画做的不够好
hyqCrystal
    14
hyqCrystal  
   2023-05-29 15:48:39 +08:00
非常棒
GoCoV2
    15
GoCoV2  
   2023-06-25 09:40:26 +08:00
问下各位,现在面试会单纯地考排序算法吗
sentinelK
    16
sentinelK  
   2023-06-25 09:51:04 +08:00
写的挺好的,手动赞👍
ChenSino
    17
ChenSino  
   2023-06-25 10:06:14 +08:00
真棒
berryiiinew
    18
berryiiinew  
   2023-06-25 16:54:39 +08:00
6
Joey666
    19
Joey666  
   2023-06-29 14:28:10 +08:00
这个太强大了,我们开发了一款在线云 IDE 工具,1024code.com ,算法可以在线运行看到效果,方便交流一下吗
linsen80586
    20
linsen80586  
OP
   2023-07-02 11:18:22 +08:00
@Joey666 感谢哈,刚注册了下还没通过,欢迎一起交流
guochenglong
    21
guochenglong  
   2023-07-12 19:00:50 +08:00
感谢
mxmbfa
    22
mxmbfa  
   2023-07-24 01:16:59 +08:00
感谢
sanshao124
    23
sanshao124  
   2023-07-24 10:22:49 +08:00 via iPhone
收藏了
xinqianbobo
    24
xinqianbobo  
   2023-07-24 15:52:07 +08:00
赞!!
gromit1337
    25
gromit1337  
   2023-07-24 16:09:47 +08:00
serverApi
    26
serverApi  
   2023-07-24 16:54:20 +08:00
清楚明了,M
charslee013
    27
charslee013  
   350 天前
看完之后再手动回复给👍
enyingtang1
    28
enyingtang1  
   350 天前
没有睡眠排序,表示不服;手动狗头
gongxuanzhang
    29
gongxuanzhang  
   349 天前
猴子排序不弄一个?
Arctic2021
    30
Arctic2021  
   328 天前
哈哈,直观。
littlecap
    31
littlecap  
   314 天前 via iPhone   ❤️ 1
这玩意怎么毒瘤一样一直在首页。
Flourite
    32
Flourite  
   303 天前
怎么在我印象里,shell 排序是等 gap 距离排序?比如 gap=2 ,先 1-3-5-2-4 排序完,然后 gap=1 ,1-2-3-4-5 排序
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