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V2EX  ›  数学

一道立体几何题目

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  •   enjoying · 24 天前 · 938 次点击
    自己工作时突然想到的,和工作实质内容无关。衍生出来的一个立体几何问题,自己十一节假日断断续续想了些时间了,还没解答出来。让有兴趣的网友帮忙一起来想想。

    第 1 条附言  ·  23 天前
    第 1 问题证明就是用:"如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么他们的交线垂直于第三个平面。"
    本题中的三个平面为平面 X ,平面 CGOL ,平面 ABCD 。

    第 3 个问题改一下:求∠LC
    第 2 条附言  ·  23 天前
    第 3 个问题改一下:求∠LCP
    第 3 条附言  ·  19 天前
    第二题答案为:
    ∠PCA≈13.194
    ∠GPC≈35.594

    但怎么算出来的忘了,只有十年前算出来的最终答案了。
    第 4 条附言  ·  19 天前
    又笔误:∠LCP≈35.594
    5 条回复    2024-10-08 13:38:16 +08:00
    wufeng
        1
    wufeng  
       24 天前   ❤️ 1
    不好意思 高中已经毕业 20 年 题目已经看不懂了
    Sawyerhou
        2
    Sawyerhou  
       24 天前
    提个比较傻的思路。

    以 G 为原点,HG 为 x 方向,CG 为 y 方向,FG 为 z 方向,建立坐标系
    不妨设正方体边长为 1 ,并对 OL,OM,ON 除以三者平方和进行归一化

    记平面法线方向为 n=(x,y,z)则
    cos<n,CG>=cos<(x,y,z),(0,0,1)>=OL
    cos<n,HG>=cos<(x,y,z),(1,0,0)>=ON
    cos<n,FG>=cos<(x,y,z),(0,1,0)>=OM
    解得 n=(ON,OM,OL)

    对于问 2 ,记 PCG 法线为 m=(x,y,z)
    cos<m,n>=cos<(x,y,z),(ON,OM,OL)>=0
    cos<m,CG>=cos<(x,y,z),(0,0,1)>=0
    解得 m=(OM,-ON,0)

    <PCG,ACG>=arccos(cos<m,(1,1,0)>)=arccos(OM-ON)

    其他问原理也都差不多
    Sawyerhou
        3
    Sawyerhou  
       24 天前
    @Sawyerhou #2 更正倒数第二行
    <PCG,ACG>=arccos(cos<m,(1,1,0)>)=arccos(OM-ON)
    enjoying
        4
    enjoying  
    OP
       24 天前
    第一问题证明就是用:"如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么他们的交线垂直于第三个平面。"
    本题中的三个平面为平面 X ,平面 CGOL ,平面 ABCD 。
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        5
    enjoying  
    OP
       23 天前
    第 3 个问题改一下:求∠LCP
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