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Alex222222222222 我想, 您提出了一个好问题.
本回答是长的. 省流: 主要是一些技术的关于细节的小创新. 全文如下:
(请原谅我用一些外语词.)
如您所见, 我未在我的广告中说, 我的书是一本 "线性代数教材": 我的书几乎只有行列式, 而行列式并不是线性代数的重点. 您说的话也不错: 中国人, 美国人与其他国家/地区 (我似乎未读过中美以外的数学书) 的人以写出完善的, 成熟的线性代数教材, 且部分还是作者为特定的人作出的. 您问, 我的书有什么不一样的地方.
我选用了友好的定义行列式的方式, 并简单地证明了行列式的重要结论. 具体地, 我们说, 行列式至少有如下三种定义方式:
- 用一个含 n! (n 的阶乘) 项的和式定义 (n 级阵的) 行列式. 此定义是 "closed form", 是直接的. 以它为定义, 证明是直接的, 短的. 不过, 这要求学生对排列 (或置换) 有一定的了解, 而排列与置换在不少线性代数书中几乎只为行列式服务. 另一方面, 我们少地直接地用这个和式计算行列式; 我们常用行列式的性质与 "展开" 计算行列式.
- 用行列式的一些性质 ("axioms") 定义行列式. 此定义是 "axiomatic". 学生或许能在这种定义中更好地理解行列式的性质. 不过, 若我们用此法定义行列式, 则学生至少要已有一些线性代数的基础 (至少要知道阵的基本运算), 且我们应当证明 (a) 若二个函数都适合行列式的 axioms, 则这二个函数是相等的 (行列式的唯一性), 与 (b) 存在一个适合行列式的 axioms 的函数. 这样, 逻辑才是 "完整的". (当然, 教师怎么教是另一回事: 教师可以不在课上讲较深的命题的证明.)
- 递归定义 (n > 1 时, 一个 n 级阵的行列式是 n 个 n-1 级阵的行列式的倍的和). 这种定义不是 "closed form", 是递归的. 不过, 不幸地, 在不少以此法定义行列式的书中, 行列式的性质的论证有些长, 有些复杂. 于是, 不少作者选择不证明某些性质, 或在补充材料里讲证明. 这或许也是一些作者不愿意用递归定义的原因吧.
我的书的不一样的地方是, 以递归定义定义行列式, 但以简单的方式 (虽然, 成书后, 我发现, 前人的工作也有我的思想) 证明行列式的结论. 我主要用数学归纳法. 数学归纳法是一种重要的证明数学命题的方法 (反证法也是). 于是, 积极地, 若一本线性代数书用我的方法处理行列式, 则教师可以快地讲完行列式的理论, 从而留时间给线性代数的其他的更重要的地方. 我想, 我的书是我对线性代数的一小部分的教学的畅想.
当然, 我的书应该还有一些别的不一样的地方. 我的书只要求读者有中学数学基础 (具体地, 会作基本的代数计算 (不含三角函数, 指数函数, 对数函数等)). 于是, 我的书也能被用作一本参考书.
我在记号上也有一些小创新. 当然, 跟前面的比, 这就不那么重要了.
我的书还有一些关于行列式的阅读材料, 部分内容是大多数线性代数书不提的. 当然, 这也不那么重要; 它或许更多地跟阵有关系. 有一门专门研究阵的课, "阵论", theory of matrices.
我就说这么多吧.
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