Upper Sum

定义 Definition

upper sum（上和）：在黎曼积分（Riemann integration）中，把区间划分成若干小区间后，在每个小区间上取函数值的上确界（最大可能值），再乘以该小区间长度并求和，得到的总和称为上和。常用于与下和一起刻画函数是否黎曼可积。（也有更一般的“上达布和/上达布积分”表述。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈʌpər sʌm/

例句 Examples

The upper sum depends on how we partition the interval.
上和取决于我们如何对区间进行划分。

As the partitions get finer, the upper sums decrease and may converge to the integral.
当划分变得更细时，上和会减小，并可能收敛到积分值。

词源 Etymology

由 upper（上面的/较大的） + sum（和） 组成；“upper”指在每个小区间上取函数值的上界（上确界），再把这些面积“加总”（sum）起来，因此得名。

相关词 Related Words

• Darboux Sum
• Lower Sum
• Riemann Sum
• Upper Bound
• Supremum
• Partition
• Riemann Integral

文学与经典作品 Literary Works

• Calculus, Vol. 1（Tom M. Apostol）——在讨论黎曼积分与达布和时涉及上和/下和概念。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——以严格分析语言讲解上和、下和与可积性。
• Calculus（Michael Spivak）——在积分理论的严格化处理中使用上和与下和来建立直观与证明。