Riemann Surface

Definition / 释义

黎曼曲面：一种在局部看起来像复平面（二维实平面）的几何对象，是研究复变函数与解析延拓的重要工具。直观上，它把“多值复函数”（如 ( \sqrt{z} )、(\log z)）的不同“分支”组织在同一个连续的曲面上，使之成为单值、可解析的函数。（该术语在更高阶数学中还有更抽象的等价定义。）

Pronunciation / 发音

/ˈriːmɑːn ˈsɜːrfɪs/

Examples / 例句

A Riemann surface can help make sense of multi-valued complex functions.
黎曼曲面可以帮助理解多值的复函数。

By studying the Riemann surface associated with the logarithm, we can describe how analytic continuation moves between different branches.
通过研究对数函数对应的黎曼曲面，我们可以描述解析延拓如何在不同分支之间“切换”。

Etymology / 词源

“Riemann”来自19世纪德国数学家Bernhard Riemann（伯恩哈德·黎曼）的姓氏；“surface”意为“曲面”。该概念源于黎曼在复分析与几何化方法中的工作，用来把复函数的分支结构用几何方式统一表达，因此得名“黎曼曲面”。

Related Words / 相关词

• Complex Plane
• Complex Analysis
• Holomorphic
• Analytic Continuation
• Branch Cut
• Conformal
• Manifold
• Riemann Sphere

Literary Works / 文学与著作例证

• Bernhard Riemann, Collected Works / Gesammelte mathematische Werke（黎曼论文与手稿汇编中涉及相关思想）
• Lars Ahlfors & Leo Sario, Riemann Surfaces（经典教材）
• Otto Forster, Lectures on Riemann Surfaces（常用入门与进阶讲义）
• Hershel M. Farkas & Irwin Kra, Riemann Surfaces（复分析与几何视角的权威著作）
• Rick Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces（代数曲线与黎曼曲面的联系）