Positive Homogeneity

定义 Definition

正齐次性（positive homogeneity）：指数学/优化中函数的一种性质，指对任意标量 ( \alpha \ge 0 )，都有
[ f(\alpha x)=\alpha f(x) ] 常见于范数（norm）、次线性函数（sublinear function）、凸分析（convex analysis）等领域；直观上表示“把输入按比例放大（只允许非负倍数），输出也按同样比例放大”。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈpɑːzətɪv ˌhɑːməʊdʒəˈniːəti/

例句 Examples

A norm satisfies positive homogeneity.
范数满足正齐次性。

If (f) is convex and positively homogeneous, then (f) is sublinear and can often be represented as a support function of a convex set.
如果 (f) 是凸的且具有正齐次性，那么 (f) 是次线性的，并且常常可以表示为某个凸集的支持函数。

词源 Etymology

positive 源自拉丁语 positivus（“确定的、明确的”），在数学语境中常用来限定“取非负/正”的范围；homogeneity 源自希腊语 homogenēs（homo- “相同” + genos “种类”），表示“同质/同类”。合起来强调：在非负缩放下保持“同一比例规律”的性质。

相关词 Related Words

• Homogeneous
• Homogeneity
• Scale-Invariant
• Convex
• Norm
• Sublinear
• Gauge
• Support Function
• Minkowski Functional
• Euler’s Theorem (Homogeneous Functions)

文学与经典著作 Literary Works

• Convex Analysis — R. Tyrrell Rockafellar（凸分析经典教材中讨论正齐次/次线性与支持函数）
• Convex Optimization — Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe（优化课程经典教材中用于范数、对偶与支持函数等内容）
• Convex Analysis and Minimization Algorithms — Hiriart-Urruty & Lemaréchal（系统讨论凸函数性质，包含正齐次相关概念）
• Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications — Philippe G. Ciarlet（泛函分析与应用场景中涉及齐次性与相关映射）