Positive Definite

释义 Definition

positive definite（正定的）：常用于线性代数与优化中，指一个实对称矩阵/厄米矩阵或对应的二次型满足：对任意非零向量 (x)，都有
[ x^\top A x > 0 \quad (\text{或 } x^* A x > 0) ]
因此它的特征值全为正，常意味着“严格凸”“度量有效”“能量为正”等性质。（在其他语境中也可指“明确为正的”，但数学义最常见。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈpɑːzətɪv ˈdɛfɪnət/

例句 Examples

A positive definite matrix has all positive eigenvalues.
正定矩阵的所有特征值都为正。

To guarantee a unique minimizer, the Hessian must be positive definite at the solution.
为了保证有唯一的极小值点，解处的海森矩阵必须是正定的。

词源 Etymology

positive 源自拉丁语 positivus（“确定的、明确的”），在数学里常引申为“正的”；definite 源自拉丁语 definitus（“界定的、明确的”）。组合成 positive definite，在数学中被专门化为“对任意非零向量都给出严格正值”的性质，用来刻画矩阵/二次型的“严格为正”。

相关词 Related Words

• Convex
• Eigenvalue
• Hessian
• Inner Product
• Matrix
• Positive
• Positive Semidefinite
• Quadratic Form
• Symmetric

文学与名著用例 Literary Works

• Matrix Analysis（Roger A. Horn & Charles R. Johnson）——讨论正定矩阵、谱性质与不等式的经典参考书。
• Convex Optimization（Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe）——在凸优化中频繁使用“positive definite”描述 Hessian 与二次规划条件。
• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）——以入门方式讲解正定矩阵与几何/能量解释。