Pointwise Convergence

释义 Definition

逐点收敛：在函数序列（或函数列）{fₙ} 中，如果对定义域内每一个固定点 x，都有 fₙ(x) 随 n→∞ 收敛到某个函数 f(x)，则称 fₙ 逐点收敛到 f。
（常见于实分析、测度论与泛函分析；它通常比“一致收敛”更弱。）

例句 Examples

The sequence of functions converges pointwise to zero.
这列函数逐点收敛到零函数。

Although (f_n) converges pointwise to (f), the convergence is not uniform on ([0,1]), so we cannot interchange the limit and the integral without extra conditions.
尽管 (f_n) 逐点收敛到 (f)，但它在 ([0,1]) 上并不一致收敛，因此若没有额外条件，就不能随意交换极限与积分。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈpɔɪntˌwaɪz kənˈvɝːdʒəns/

词源 Etymology

pointwise 由 point（点）+ 后缀 -wise（以……方式、就……而言）构成，字面意思是“逐点地”。convergence 来自拉丁语词根 convergere（“汇聚、趋向”），在数学中引申为“趋于同一极限”的性质。合起来即“按每个点分别考察的收敛”。

相关词 Related Words

• Uniform Convergence
• Convergence
• Converge
• Limit
• Sequence
• Function
• Almost Everywhere

文学与著作 Literary Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）：在讨论函数列的收敛、连续性与积分交换等主题时使用“pointwise convergence”。
• Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications（Gerald B. Folland）：在测度论框架下对逐点收敛及其与“几乎处处收敛”等概念的关系进行阐述。
• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）：在实分析与积分理论部分出现，用于对比逐点收敛与更强的收敛方式。