Pochhammer Symbol

Definition / 释义

Pochhammer 符号：数学记号，通常写作 \((a)_n\)，表示升阶乘（rising factorial）： \[ (a)_n = a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1),\quad (a)_0=1 \] 它在超几何函数、伽马函数与组合恒等式中非常常见。（在某些语境也会讨论对应的“降阶乘”，但最常见的 \((a)_n\) 指升阶乘。）

Pronunciation / 发音

/ˈpɒkˌhɑːmər ˈsɪmbəl/

Examples / 例句

\((a)_0\) equals 1.
\((a)_0\) 等于 1。

Using the Pochhammer symbol, we can write many hypergeometric series compactly, for example \((a)_n=\Gamma(a+n)/\Gamma(a)\).
使用 Pochhammer 符号，我们可以把许多超几何级数写得更简洁，例如 \((a)_n=\Gamma(a+n)/\Gamma(a)\)。

Etymology / 词源

“Pochhammer”来自德国数学家 Leo Pochhammer（19 世纪）的姓氏；该符号用于把连乘结构（尤其在超几何级数里出现的参数连乘）用统一记号表示，因此在特殊函数与级数理论中被广泛沿用。

Related Words / 相关词

• Rising Factorial
• Falling Factorial
• Factorial
• Gamma Function
• Hypergeometric Function
• Binomial Coefficient
• Series
• Special Functions

Notable Works / 著作例证

• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）：在超几何函数与相关恒等式中频繁使用 \((a)_n\) 记号。
• Higher Transcendental Functions（Bateman Manuscript Project）：系统讨论超几何函数等“高等超越函数”，Pochhammer 符号是基础工具。
• Generalized Hypergeometric Functions（Lucy Joan Slater）：以 \((a)_n\) 组织与推导广义超几何级数的标准参考书。