Orthogonal Polynomial

定义 Definition

正交多项式：在给定的内积（常见为带权函数的积分内积）下，两两满足“正交”（内积为 0）的一族多项式序列。它们常用于逼近、数值积分（高斯求积）、傅里叶类展开与解微分方程等。（该术语也可指具体的正交多项式族，如勒让德、切比雪夫、拉盖尔、埃尔米特等。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ɔːrˈθɑːɡənəl pəˈlɪnəʊmiəl/

例句 Examples

Orthogonal polynomials help approximate a function efficiently.
正交多项式可以帮助高效地逼近一个函数。

Using orthogonal polynomials with a suitable weight function, we can derive Gaussian quadrature rules and reduce numerical integration error.
使用带合适权函数的正交多项式，我们可以推导高斯求积公式，从而降低数值积分误差。

词源 Etymology

orthogonal 源自希腊语 orthos（“直的、正确的”）+ gōnia（“角”），原义与“成直角”相关；在数学中引申为“内积为零”的“正交”。polynomial 来自 *poly-*（“多”）+ 拉丁语 nomen（“名称/项”相关），表示“由多项（多项式项）组成的代数表达式”。合起来即“彼此正交的一族多项式”。

相关词 Related Words

• Orthogonal
• Polynomial
• Inner Product
• Orthonormal
• Weight Function
• Gaussian Quadrature
• Legendre Polynomial
• Chebyshev Polynomial

文学与经典著作 Literary Works

• Gábor Szegő：《Orthogonal Polynomials》——正交多项式理论的经典专著与重要参考。
• Theodor S. Chihara：《An Introduction to Orthogonal Polynomials》——系统介绍正交多项式及其应用。
• Abramowitz & Stegun：《Handbook of Mathematical Functions》——在特殊函数与多项式章节中广泛涉及正交多项式。
• George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy：《Special Functions》——在特殊函数框架下讨论多种正交多项式族。