Linear Differential Equation

释义 Definition

线性微分方程：一种微分方程，其中未知函数及其各阶导数都以一次（线性）形式出现，不包含它们的乘积、幂次或非线性函数（如 ((y')^2)、(\sin y)、(yy') 等）。常见形式如
[ a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x). ]
（注：根据讨论对象不同，可指常微分方程 ODE 或偏微分方程 PDE 的线性情形。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈlɪniər ˌdɪfəˈrɛnʃəl ɪˈkweɪʒən/

例句 Examples

A linear differential equation is often easier to solve than a nonlinear one.
线性微分方程通常比非线性微分方程更容易求解。

Using an integrating factor, we can solve the first-order linear differential equation and obtain an explicit formula for (y(x)).
利用积分因子，我们可以解一阶线性微分方程，并得到 (y(x)) 的显式表达式。

词源 Etymology

• linear 来自拉丁语 linea（线、细绳），引申为“沿直线的、一次的”，在数学里常表示“满足叠加性、齐次性（线性）”。
• differential 源自拉丁语 differentia（差异），在微积分语境中指“微小变化/微分”。
• equation 来自拉丁语 aequatio（使相等），即“等式/方程”。
  合起来即“关于微分（导数）的、线性形式的方程”。

相关词 Related Words

• Linear
• Differential Equation
• Ordinary Differential Equation
• Partial Differential Equation
• Homogeneous
• Nonhomogeneous
• Integrating Factor
• Superposition
• Initial Value Problem
• Boundary Value Problem

文学与著作中的用例 Literary Works

• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems（Boyce & DiPrima）——系统讲解线性微分方程及其解法。
• Ordinary Differential Equations（Coddington）——以严格数学方式讨论线性 ODE 的理论框架。
• Differential Equations with Applications and Historical Notes（George F. Simmons）——结合历史脉络介绍线性微分方程的经典方法。
• A Treatise on the Theory of Differential Equations（E. L. Ince）——涵盖大量线性微分方程的理论与特例。