Eigenfunction

释义 Definition

本征函数（特征函数）：在线性算子（如微分算子、矩阵对应的算子）作用下，只会被“按某个常数倍缩放”的非零函数。若算子为 (L)，当
(L f = \lambda f)
成立时，(f) 称为 eigenfunction，(\lambda) 称为 eigenvalue（本征值/特征值）。该概念常见于微分方程、傅里叶分析与量子力学。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈaɪɡənˌfʌŋkʃən/

例句 Examples

The eigenfunction satisfies the given boundary conditions.
这个本征函数满足给定的边界条件。

In quantum mechanics, an energy eigenfunction evolves in time with a simple phase factor.
在量子力学中，能量本征函数随时间演化时只会附加一个简单的相位因子。

词源 Etymology

eigen- 来自德语 eigen，意为“自身的、固有的”，在数学物理中常用来表示“本征/固有”的概念（如 eigenvalue）。function 来自拉丁语系词根，指“函数”。合起来 eigenfunction 就是“对应于某个本征值的固有函数”。

相关词 Related Words

• Eigenvalue
• Operator
• Spectrum
• Eigenvector
• Wavefunction
• Differential Equation
• Boundary Condition
• Sturm–Liouville

文学与经典著作 Literary & Notable Works

• Methods of Mathematical Physics（Courant & Hilbert）——在讨论边值问题与谱理论时系统使用 eigenfunction。
• Principles of Quantum Mechanics（P. A. M. Dirac）——以本征态/本征函数框架阐释量子力学形式体系。
• Introduction to Quantum Mechanics（David J. Griffiths）——在定态薛定谔方程中频繁出现 eigenfunction（能量本征函数）。
• Mathematical Methods for Physicists（Arfken, Weber & Harris）——在分离变量、正交展开与本征函数展开中大量使用该词。