Dirichlet Convolution

定义 Definition

Dirichlet convolution（狄利克雷卷积）是数论中对两个算术函数 (f,g) 定义的一种“乘法式卷积”运算，记作 ((f * g)(n))，其定义为：
[ (f*g)(n)=\sum_{d\mid n} f(d),g!\left(\frac{n}{d}\right), ] 其中求和遍历 (n) 的所有正因子 (d)。它常用于研究乘法函数、约数和、以及与狄利克雷级数相关的恒等式与反演公式。（该术语在更广义的“卷积”概念中也有联系，但这里指的是数论中的这一特定定义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈdɪərɪkleɪ kənˈvɑːluːʃən/ （美）
/ˈdɪərɪkleɪ kənˈvɒluːʃən/ （英）

例句 Examples

The Dirichlet convolution of two arithmetic functions is defined by summing over divisors.
两个算术函数的狄利克雷卷积通过对所有因子求和来定义。

Using Dirichlet convolution, we can express the divisor-sum function as a product of simpler functions and then apply Möbius inversion to recover the original.
利用狄利克雷卷积，我们可以把约数和函数表示为更简单函数的“乘积”，再用莫比乌斯反演恢复原函数。

词源 Etymology

“Dirichlet”来自德国数学家Peter Gustav Lejeune Dirichlet（狄利克雷）的姓氏；“convolution”原意是“卷绕、卷积”。在数论语境中，这个“卷积”并不是常见的积分卷积，而是基于约数分解（(d\mid n)）的离散求和结构，因此形成了专用于算术函数的一种代数运算。

相关词 Related Words

• Arithmetic Function
• Multiplicative Function
• Möbius Inversion
• Dirichlet Series
• Convolution
• Divisor Function
• Euler Product

文学与经典著作中的出现 Literary Works

• G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers（经典数论教材中用它组织乘法函数与约数和恒等式）
• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory（系统讲解算术函数、狄利克雷卷积与莫比乌斯反演）
• Harold Davenport, Multiplicative Number Theory（讨论乘法函数与相关工具时频繁出现）
• Iwaniec & Kowalski, Analytic Number Theory（更高阶的解析数论语境中作为基础代数结构之一出现）