Dedekind Domain

释义 Definition

Dedekind domain（戴德金整环）：抽象代数/代数数论中的一种整环（交换环且无零因子），满足：它是诺特环（Noetherian）、整闭（integrally closed），并且每个非零素理想都是极大理想。直观上，它是“理想分解行为很好”的环：在其中每个非零理想都能唯一分解为素理想的乘积（类似整数能唯一分解为素数）。

（该术语在更高阶语境还有一些等价刻画，这里给出最常用定义。）

例句 Examples

A Dedekind domain has unique factorization of ideals.
戴德金整环具有“理想的唯一分解”性质。

In algebraic number theory, the ring of integers of a number field is a Dedekind domain, which explains why prime numbers can split into products of prime ideals.
在代数数论中，数域的整数环是戴德金整环，这解释了为何一个素数在扩张中可能分裂为若干素理想的乘积。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈdɛdɪkaɪnd doʊˈmeɪn/

词源 Etymology

“Dedekind”来自德国数学家Richard Dedekind（理查德·戴德金）的姓氏，他在代数数论与理想理论的发展中贡献突出；“domain”在代数中常指整环（integral domain）。合起来表示“具有戴德金式良好理想分解性质的整环”。

相关词 Related Words

• Ideal
• Prime Ideal
• Maximal Ideal
• Integral Domain
• Noetherian Ring
• Integrally Closed
• Unique Factorization
• Discrete Valuation Ring
• Principal Ideal Domain
• Class Group

文学与著作 Notable Works

• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald）——在交换代数框架下讨论戴德金整环与理想分解。
• Algebraic Number Theory（Neukirch）——将数域整数环作为典型戴德金整环来展开理论。
• Algebraic Number Theory（Serge Lang）——系统使用戴德金整环语言处理分解、判别式与类群。
• Primes of the Form x² + ny²（David A. Cox）——通过理想与类群视角（常以戴德金整环为背景）解释素数表示问题。
• Number Fields（Daniel A. Marcus）——入门型教材中常把整数环的戴德金整环性质作为核心工具。