Characteristic Equation

定义 Definition

“Characteristic equation”常译为特征方程，指在数学与工程中由某个对象（如矩阵、线性微分方程、线性系统）推导出的方程，用来求特征值或判断系统的稳定性/解的形式。在不同语境下含义略有差别，但最常见的是线性代数中由 (\det(A-\lambda I)=0) 得到的方程，以及常微分方程/控制理论中由假设解形式得到的代数方程。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌkærəktəˈrɪstɪk əˈkweɪʒən/

例句 Examples

The characteristic equation of the matrix gives its eigenvalues.
这个矩阵的特征方程可以求出它的特征值。

By solving the characteristic equation, we can determine whether the system’s equilibrium is stable and compute the general solution form.
通过求解特征方程，我们可以判断系统平衡点是否稳定，并确定通解的形式。

词源 Etymology

“Characteristic”源自希腊语词根，含“标记、特征”之意，表示能刻画对象本质的性质；“equation”来自拉丁语，原意与“使相等”相关。合起来，“characteristic equation”字面意思就是“刻画某对象关键特征的方程”，在数学中用它来提取如特征值、解结构或稳定性等“核心信息”。

相关词 Related Words

• Characteristic Polynomial
• Eigenvalue
• Eigenvector
• Determinant
• Matrix
• Linear System
• Stability
• Differential Equation

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• Linear Algebra（Kenneth Hoffman & Ray Kunze）——在特征值与特征多项式章节中系统使用“characteristic equation/characteristic polynomial”等术语。
• Elementary Linear Algebra（Howard Anton）——介绍矩阵特征值求解时常以“characteristic equation”描述 (\det(A-\lambda I)=0)。
• Differential Equations and Boundary Value Problems（Boyce & DiPrima）——在常系数线性微分方程中通过“characteristic equation”求解指数型解。
• Modern Control Engineering（Katsuhiko Ogata）——在控制系统稳定性分析中使用特征方程（常与闭环极点、稳定性条件相关）。