柯西—黎曼条件（方程）：复分析中的核心条件，用来判定一个复函数在某点是否复可微/全纯（holomorphic）。若复函数 (f(z)=u(x,y)+iv(x,y))（其中 (z=x+iy)），在适当光滑条件下满足
[
u_x = v_y,\quad u_y = -v_x,
]
则 (f) 在该处复可微（并与解析性密切相关）。也常简称为 Cauchy-Riemann equations。
（注：在不同教材中还会讨论其在更弱条件下的版本与等价表述。）
The Cauchy-Riemann equations help determine whether a complex function is differentiable.
柯西—黎曼方程有助于判断一个复函数是否可微（在复意义下）。
If (u) and (v) have continuous partial derivatives and satisfy the Cauchy-Riemann conditions on a region, then (f(z)=u+iv) is holomorphic there.
如果 (u) 与 (v) 的偏导连续并在某区域满足柯西—黎曼条件，那么 (f(z)=u+iv) 在该区域是全纯的。
/ˈkoʊʃi ˈriːmɑːn/
该术语由两位数学家姓氏组合而成：Augustin-Louis Cauchy（柯西）与 Bernhard Riemann（黎曼）。它所指的条件在复变函数理论的发展中至关重要，因此以二人名字命名，用于概括复可微（全纯）所需的关键偏导关系。
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